Главные компоненты временных рядов:
 
метод "Гусеница"

Исследование периодических компонент в динамике гидрологических показателей

• Введение
• Исследование цикличностей в колебаниях уровня Чудско-Псковского озера и суммарного притока в озера - охладители Калининской АЭС
• Тенденция увеличения площади льда Балтийского моря при оценке изменения климата
• Общие черты в динамике колебаний водности озер и ледовитости Балтийского моря
• Литература

Введение

Исследование периодических компонент природных процессов является одной из основных задач естествознания. Помимо естественных периодов, равных или кратных году и суткам (и некоторых других, таких как 28 дней - лунный месяц), было обнаружено достаточно много других, не столь очевидных. Важность их выделения и изучения имеет как теоретическое (построение моделей природных процессов), так и практическое (прогноз природных явлений) обоснование. Достоверное выделение периодических регулярных колебаний может свидетельствовать о наличии устойчивых механизмов регуляции либо в самом изучаемом процессе (авторегуляция), либо в процессах, оказывающих на него сильное влияние и связанных с ним причинно-следственными связями.

Поскольку одним из факторов существования человека является вода, то наблюдение за водными объектами (реками, озерами, морями) с древности осуществлялось достаточно аккуратно и их результаты сохранялись в документах. В то же время, анализ этих наблюдений на серьезном научном уровне начался только в последние годы. Во многом это связано со стремлением осознать роль антропогенного фактора в природных процессах. Спектр мнений в этом вопросе чрезвычайно широк: от утверждений о катастрофическом воздействии человека на природу (вспомним теории "ядерной зимы" и глобального потепления климата) до мнений о почти полной независимости природных процессов от деятельности человека. Известно также много примеров, когда природные процессы начинали "вести себя" вопреки всем (или большинству) прогнозов. Например, для многих памятна проблема "спасения мелеющего Каспийского моря" и связанные с ней грандиозные проекты переброски вод северных и даже сибирских рек.

В данной работе рассмотрены менее масштабные, но, по мнению авторов, не менее важные примеры. Первоначально они рассматривались как самостоятельные задачи, но затем, благодаря такому инструменту как "Гусеница", оказалось возможным их совместное рассмотрение. Речь идет о трех рядах среднегодовых гидрологических характеристик.

1. Уровень воды Чудско-Псковского озера с 1885 по 1993гг.
2. Приточность воды в озера Песьво и Удомля, озера-охладители Калининской АЭС с 1882 по 1992гг.
3. Максимальные площади льда Балтийского моря с 1720 по 1992гг.

Исследование цикличностей в колебаниях уровня Чудско-Псковского озера и суммарного притока в озера - охладители Калининской АЭС

Чудско-Псковское озеро не случайно привлекло внимание упомянутых исследователей. По этому водоему имеется хороший ряд наблюдений за уровнем воды. Опорным водомерным постом в этом озере является пост Муствеэ, расположенный в северно-западной части озера. Регулярные наблюдени здесь выполняются с 1921 г. С использованием данных на водпосту Васькнарва (исток реки Нарвы) с 1902 по 1917 гг., а также данных по р.Эмайыги (водпост г.Тарту) с 1867 г (за летние месяцы), ряд среднегодовых уровней Чудско-Псковского озера с высокой надежностью был продлен до 1885 г. известным эстонским гидрологом Т.Ф.Эйпре [18]. Этот 110-летний ряд показывает ясно выраженные циклические колебания уровня (Рис. 1). Значительное число разнообразных периодов, выявленных в многолетних колебаниях уровня воды Чудско-Псковского озера, а также 15-летний полупериод, используемый в прогнозах водности Е.А.Леоновым [8], приводят к необходимости еще раз вернуться к этому вопросу и обоснованно выделить ведущий период.

Этот вопрос встает не только в надежных рядах наблюдений, каким является уровень воды Чудско-Псковского озера. Как правило, при решении задач, связанных с водообеспечением важнейших промышленных объектов, в особенности когда оно происходит за счет малых рек, такие ряды наблюдений отсутствуют. Встает вопрос об их восстановлении. В гидрологии он оказывается все более и более проблемным, поскольку данных непосредственных измерений, в силу складывающихся экономических условий, становится все меньше и меньше. Вместе с тем, выявление ведущего периода в колебаниях водности восстановленного ряда также могло бы быть своеобразной проверкой надежности новых данных, хотя бы априори, по аналогии с ведущим периодом, который мог бы быть выявлен по ряду среднегодовых значений уровня воды в Чудско-Псковском озере.

Примером восстановленного ряда может служить ряд суммарного притока в расположенные в Тверской области небольшие озера Песьво и Удомля (общая площадь их водной поверхности изменяется в пределах 16-20 км²), которые с конца 1984 г. используются как озера-охладители Калининской АЭС. Работа по приведению недостаточно длительных рядов наблюдений к многолетнему ряду (1881-1995 гг.) осуществлялась в Государственном Гидрологическом институте А.Г.Лобановой. Ею, по методу, основа которого изложена в работах [13-16], была восстановлена недостающая информация по годовому и месячному стокам рек Тихомандрица и Овсянка. Можно говорить о надежности восстановленной информации по использованному методу. Для приведения к многолетнему периоду среднего годового и месячного стока по рядам, имеющим наблюдения только за 5 лет, рекам Хомутово и Сьюча, использовались методики [12,17]. Приведение к многолетнему периоду перечисленных рядов осуществлялось по 1992 г. включительно. По 1995 г. ряд продлен менее надежно, поэтому последние три точки в анализе не использовались.

Упомянутые два ряда наблюдений были проанализированы методом "Гусеница" с параметрами M=40 и M=50. В каждом из рядов выделяется достаточно большое число самостоятельных (не являющихся гармониками других) периодических компонент. Для некоторых компонент с помощью метода, описанного в разделе I.1.1, удается построить приближенный доверительный интервал их периода, для других - только получить точечную оценку периода. Кроме того, несколько отличаются оценки, полученные по собственным векторам и главным компонентам.

Ведущим периодом в обоих рядах наблюдений оказался период, приблизительно равный 28 годам; во всех случаях он выделился в 1-й и 2-й главных компонентах. Для колебаний уровня воды Чудско-Псковского озера были получены следующие значения периода T (в годах):

• при M=40 по собственным векторам T=28.1 с 95% доверительным интервалом (26.6, 29.8), по главным компонентам - T=27.4 и доверительный интервал: (25.5, 29.7); доля дисперсии составила 36.5%;
• при M=50 по собственным векторам T=28.7, доверительный интервал: (26.9, 30.6), по главным компонентам - T=29.1, доверительный интервал: (27.3, 31.2); доля дисперсии: 38.9%.

Интересно отметить, что при большей длине гусеницы основной период выделяется даже контрастнее, чем при меньшей. По совокупности четырех оценок можно считать наиболее правдоподобным значение периода, равное 28.5 лет.

Для ряда суммарного притока в озера-охладители КлнАЭС оценки основного периода следующие:

• при M=40 по собственным векторам T=28.7, доверительный интервал: (26.5, 31.4), по главным компонентам - T=27.7 и доверительный интервал: (25.4, 30.5); доля дисперсии: 29.0%;
• при M=50 по собственным векторам T=28.4, доверительный интервал: (26.8, 30.1), по главным компонентам -T=27.7, доверительный интервал: (25.7, 31.4); доля дисперсии: 28.7%.

В этом случае зависимость от длины гусеницы практически отсутствует. Усредненная по совокупности оценок длительность периода также равна 28.5 лет. Восстановленные по среднему и первым двум главным компонентам ряды в сравнении с исходными приведены на рис. 1 и рис. 2. Отметим эффект "раскачки" колебаний уровня воды в Чудско-Псковском озере.

В исследуемых рядах выделены также несколько длиннопериодических колебаний. Из-за сравнительно небольшой длины рядов периоды этих колебаний оцениваютс с довольно большой погрешностью. Поэтому здесь мы приведем лишь приблизительные их значения для ряда уровней воды Чудско-Псковского озера. Самый длинный период равен приблизительно 70 годам с долей дисперсии около 8%, период около 19 лет соответствует доле дисперсии 3.7%, период около 11 лет - 5.7%. Периоды более высокочастотных колебаний оказалось возможным оценить более точно. В таблицах 2 и 3 приведены значения точечных и 95% интервальных оценок, а также доли дисперсии и номера главных компонент для некоторых колебаний.

Полученные результаты в оценках некоторых периодов схожи с результатами, приведенными в Табл. 1. Однако, идентифицировать колебания в двух исследуемых рядах и в литературных данных затруднительно. Надежно можно утверждать лишь о совпадении оценок ведущего 28-летнего периода, полученных методом "Гусеница", что позволяет на данном этапе исследований рекомендовать его для решения задач, связанных с прогнозом водности.

Тенденция увеличения площади льда Балтийского моря при оценке изменения климата

Попутно напрашивается еще одна задача - определить тенденцию в изменении ледовитости Балтийского моря как показатель изменения климата. Известно, что причины и тенденции в изменении климата в настоящее время дискуссионны. Монография М.И.Будыко [4] служит ярким примером работ, обосновывающих гипотезу о потеплении климата. Авторы работ [2, 6] в то же врем придерживаются противоположной точки зрения. Последнее подтверждается и выявленной нами тенденцией увеличения ледовитости Балтийского мор [20]. Однако, этот вопрос требует дополнительного более обстоятельного рассмотрения.

Был исследован 273-летний ряд наблюдений, характеризующий максимальные площади льда Балтийского моря с 1720 по 1992 годы. Известно, что задача выделения тренда из длинных временных рядов не имеет единственного стандартного решения. Выбор метода ее решения во многом зависит от априорной информации о модели изучаемого процесса и от поведения реальных статистических данных, описывающих этот процесс.

Особенностью данных является их распределение, весьма далекое от нормального. Так, при среднем значении площадей льда, равном 218 тыс.км², минимальном - 52 тыс.км² и максимальном - 420 тыс.км², их стандартное отклонение достаточно велико и равняется 114 тыс.км². Гистограмма выборки показывает, что ее распределение почти не имеет хвостов, оно похоже на несколько деформированное равномерное (имеется заметная положительная асимметрия). Отсутствие хвостов определяется тем, что максимальное значение площади льда ограничено сверху площадью Балтийского моря (420 тыс.км²), а снизу площадью льда мелководных заливов, которые замерзают даже в самые теплые зимы. В этом случае трудно ожидать, что традиционные процедуры типа скользящего среднего непосредственно дадут ясную информацию о наличии или отсутствии искомого "медленного тренда". Все же была сделана попытка применить одну такую процедуру - полиномиальную аппроксимацию методом наименьших квадратов. Наилучшее приближение было получено для полинома 3-й степени (Рис. 3). Однако, доверительная зона для линии регрессии получаетс слишком широкой, чтобы можно было говорить о достоверности этого решения. Полиномы более высоких степеней дают еще худший результат.

В связи с неудовлетворительностью полученных результатов исходный ряд площадей льда был исследован с помощью метода "Гусеница", в качестве параметра было взято M=40. Изучение главных компонент указывает на существенное доминирование высокочастотных составляющих. Среди них наибольшая доля дисперсии падает на колебания с периодом 5.4 года (проявляется в первых трех главных компонентах и объясняет 14% дисперсии), с периодом 7.8 лет (4 и 5 компоненты, 7.8% дисперсии) и с периодом около 3 лет (6 и 7 компоненты, 7.5% дисперсии). "Медленный тренд" слабо представлен в 1-й и 3-й компонентах.

Для подавления высокочастотных компонент процесса используются различные процедуры, осуществляющие фильтрацию исследуемого ряда. Простейшим линейным фильтром такого рода является скользящее среднее. Однако теперь, когда известен характер мешающих составляющих сигнала, можно, управл шириной интервала усреднения, подобрать характеристику фильтра так, чтобы максимально подавить эти гармоники. Известно, что скользящее среднее наилучшим образом подавляет гармоники, период которых совпадает с шириной интервала усреднения или укладывается на этом интервале целое число раз (т.е. является общим кратным для этих периодов). В рассматриваемом случае суммирование по 15 точкам должно было подавить компоненты с периодами около 3, 5 и 7.5 лет, т.е. три самых сильных выявленных компоненты. После сглаживания по 15 точкам из получившегося ряда были исключены семь первых и семь последних точек (так как они вычисляются по более коротким отрезкам ряда и могут внести искажения в дальнейший анализ) и проведен анализ сглаженного ряда программой "Гусеница". Была выбрана длина гусеницы, равная 30, что дает более точное воспроизведение медленного тренда. В этом случае резко выделяется первая главная компонента, содержащая более 60% вариации и выделяющая медленный тренд (Рис. 4).

Для контроля результатов был проведен аналогичный анализ ряда, полученного сглаживанием исходных данных методом скользящего среднего по 7 точкам с исключением затем трех первых и трех последних точек. При этом вдвое уменьшился вес 1-й главной компоненты, соответствующей "медленному тренду". Этот факт подтверждает сомнения в оптимальности использования процедур линейного сглаживани исходного временного ряда, что связано с с отмеченным выше отличием распределения значений исследуемых площадей льда от нормального.

Для таких данных Дж. Тьюки предложил применять так называемое резистентное (устойчивое) сглаживание, использующее не среднее арифметическое, а медианное среднее или взвешенное усреднение и специальные процедуры исключения "плоских" сегментов (см. [23]). Было осуществлено сглаживание по пяти различным процедурам, реализованным в статистическом пакете STATGRAPHICS. Каждая из процедур использует не более пяти подряд идущих точек ряда. Получившиес результаты оказались достаточно близкими друг к другу и заметно отличными от результатов линейного сглаживания. Для дальнейшего анализа был взят ряд, полученный усреднением пяти упомянутых вариантов сглаживания, и обработан методом "Гусеница". Медленный тренд и в этом случае выделяется в 1-й главной компоненте, объясняющей 26.5% дисперсии; 2-я и 3-я компоненты (28% дисперсии) выделяют колебания с периодом около 19 лет.

Самым важным результатом этого этапа исследования можно считать то, что все три процедуры сглаживания дали почти совпадающие кривые медленного тренда, имеющие вид либо отрезка синусоиды с периодом около 300 лет, либо кубического полинома с участком перегиба кривой. Таким образом, можно считать доказанным, что гипотеза о потеплении климата Северной Европы не подтверждаетс исследованными материалами. Может быть высказано противоположное предположение о начавшемся в 50-х годах XX века периоде похолодани из-за проявления медленных периодических колебаний климата. Кроме того, следует отметить хорошо заметные на графиках восстановленных по отдельным компонентам значений процесса периоды, когда происходят как бы "сбои" в динамике процесса. Такие периоды соответствуют временным интервалам 1790-1800 и 1910-1920 годов. Эти интервалы на графике восстановленного по 1-й главной компоненте медленного тренда (Рис. 4) соответствуют точкам минимальной и максимальной площадей льда.

В процессе анализа данных методом "Гусеница" было выделено большое число периодических компонент с периодами от 2 до 40 лет. Так, в главных компонентах с большими номерами достаточно четко выделяются также колебания с периодами:

• 5.9 лет - в 14 и 15 компонентах, 5.4%;
• около 20 лет - в 21, 22 компонентах, 4.6%.

Остальные компоненты ведут себя как шумовые, что сильно затрудняет анализ структуры процесса.

При анализе ряда, сглаженного 15-летним средним, 2-я и 3-я главные компоненты объясняют 28% дисперсии и соответствуют колебанию с периодом около 27 лет; 5-я и 6-я главные компоненты (5% дисперсии) довольно четко демонстрируют "биения" двух близких частот с периодами 9 и 10 лет.

Для контроля выделенных периодических компонент была рассчитана также периодограмма исходного ряда. Хотя точность определения периодов компонент процесса этим методом невелика, можно все же утверждать, что основные компоненты, полученные методом "Гусеница" на предыдущих этапах анализа, выделяютс и в этом случае. Так, были выделены (в порядке убывания периодов) следующие компоненты: около 300 лет, 90 -100 лет, около 46 лет, 27 -30 лет, около 20 лет, 14 -15 лет, 13 лет, 10 лет, 9 лет, 8 лет, 6.5 лет, 5.4 года, 4 года, 3 года и другие. Интересно отметить, что отмеченный ранее период около 28 лет в колебаниях уровня Чудско-Псковского озера и суммарного притока в озера Песьво и Удомля присутствует и в колебаниях исследуемого ряда. Также интересен факт отсутстви среди выделенных колебаний 11-летнего солнечного цикла.

Таким образом, основной вывод из исследования ряда ледовитости Балтийского моря состоит в том, что гипотеза о потеплении климата не подтверждается.

Общие черты в динамике колебаний водности озер и ледовитости Балтийского моря

Был выбран интервал продолжительностью 108 лет, с 1885 по 1992 гг., общий для всех рядов. На рис. 5 эти ряды приведены в сопоставимых масштабах. Для большей наглядности к каждой из кривых добавлена постоянна составляющая, позволяющая "раздвинуть" анализируемые графики. Выявленные посредством метода "Многомерная гусеница" (см. раздел III.2) колебания в трех рядах представлены на рис. 6. Они выделились в 1-й и 2- й главных компонентах, их период около 28 лет и он присутствует во всех трех анализируемых рядах. В колебаниях уровня и приточности озер достаточно четко прослеживаетс синхронность, а в колебаниях максимальных площадей поверхности льда относительно колебаний водности озер имеется сдвиг по фазе около 8 лет. При этом максимальные значения 28-летней составляющей в колебаниях ледовитости Балтийского моря наступают на 8 лет раньше, чем максимальные значения такой же составляющей для исследуемых озерных систем. Этот факт представляется весьма важным при разработке прогнозов уровн Чудско-Псковского озера, несмотря на то, что доля дисперсии ведущего 28-летнего периода в колебаниях уровня воды озера не так уж велика, не более 39\%. Другие общие периоды в колебаниях трех рядов не выявлены.

Литература